凸函數的開題報告

一、 文獻綜述

凸函數是一類重要的函數，它的概念最早見於Jensen[1905]著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產生了廣義凸函數。

凸函數有許多良好的性質，例如，其中一個很重要的性質就是：在凸集中，凸函數的任何局部最小也是全局最小 。它在數學的許多領域中都有着廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具 。

但是凸函數的侷限性也很明顯，因為在實際問題中，大量的函數都是非凸的。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，60年代中期產生了凸分析，凸函數的概念也按多種途徑進行推廣，或對於抽象空間的推廣，或對於上面提到的不等式的推廣，然後提出了廣義凸函數的概念。60年代後期，先是有Mangasarian把凸函數的概念推廣到擬凸函數(quasi-convex functions)和偽凸函數(pseudo-convex functions)。我們知道，在數學規劃的理論及算法中，函數的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數的凸性概念，使得在更廣泛的函數範圍內，凸函數的許多重要性質仍然得以保留，凸規則的大多數結果能推廣到非凸規則，已構成了數學規劃研究領域的當前趨勢之一，所以研究廣義凸函數的一些定義和性質就顯得十分必要了。

擬凸函數(quasi-convex functions)是一類非常重要的廣義凸函數 ，已有大量文獻對此作了研究，擬凸函數可以定義為：如果對任意 及任意的 ，有，則稱 為 上的擬凸函數 。先是楊新民教授給出了擬凸函數、嚴格擬凸函數及強擬凸函數的性質，討論了他們之間的關係，得到了某些有意義的結論。擬凸函數的定義具有多種形式且相互之間有等價關係 。同時又有許多專家研究擬凸函數的上半連續性和下半連續性 。偽凸函數(pseudo-convex functions)是另一類重要的廣義凸函數，其中強偽凸函數和嚴格偽凸函數尤其被數學工作者所研究 。強偽凸函數恰好是二次函數的嚴格偽凸性的推廣，所有關於二次函數嚴格偽凸的特徵同樣也是二次函數強偽凸的特徵 。

二、 立題背景及意義

凸函數是一類重要的函數，它的概念最早見於Jensen[1905]著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產生了廣義凸函數。本文主要是研究幾類凸函數的性質與應用。探討擬凸函數、嚴格擬凸函數及強擬凸函數的定義、性質以及這三類函數之間相互轉換的充分必要條件，也討論擬凸函數的連續性和可微性。同時也對強偽凸函數性質進行研究，得到一些有意義的結論。

凸函數是一類重要的函數，在數學的許多領域中都有着廣泛的應用，但是它的侷限性也很明顯。如何推廣函數的凸性概念，使得在更廣泛的函數範圍內，凸函數的許多重要性質仍然得以保留，所以研究廣義凸函數的一些定義和性質就顯得十分必要了。

三、 研究內容與研究方法

研究內容：一是對研究的背景和意義進行分析論述，二是對凸函數的定義及其相互關係分析論述，三是對凸函數的性質分析，四是對凸函數的應用分析。

研究的方法：主要是運用了文獻綜述的理論論述和定量分析的方法，具體步驟為：

1.查閲有關凸函數的性質與應用的書籍和文獻資料，結合教學實習瞭解中學數學教學中教師對凸函數的性質與應用及效果情況，對其過程、環節和情況做出分析。

2.寫出開題報告，指出現今文獻中對凸函數的性質與應用的探討研究情況，分析文獻資料，並基於文獻提出有關值得探討和挖掘的問題，列出論文提綱。

3.在論文寫作過程中注意理論與實踐相聯繫，解決提出的問題，尋求恰當切入點，進行論述，並提出自己的論點和相關的改革建議。

4.參加論文答辯

四、 預期結果(預期達到的技術性能指標及提供的成果形式)

本文研究幾類廣義凸函數的定義和性質。探討擬凸函數、嚴格擬凸函數及強擬凸函數的定義、性質以及這三類函數之間相互轉換的充分必要條件，也討論擬凸函數的連續性和可微性。同時也對強偽凸函數性質進行研究，得到一些有意義的結論。

五、 參考文獻列表

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