數學專業開題報告

題 目：常微分方程求解中的積分因子法研究

一、選題的目的及研究意義

數學發展的歷史告訴我們，3XX年來數學分析是數學的首要分支，而微分方程又是數學分析的心臟，它還是高等分析裏大部分思想和理論的根源。人所共知，常微分方程從它產生的那天起，就是研究自然界變化規律、研究人類社會結構、生態結構和工程技術問題的強有力工具。

二、綜述與本課題相關領域的研究現狀、發展趨勢、研究方法及應用領域等

(1)相關領域的研究現狀;

20世紀30年代直至現在，是常微分方程各個領城迅速發展、形成各自相對獨立的而又緊密聯在一起的分支學科的時期。

1927-1945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術聯繫在一起的。第二次世界大戰期間由於通訊等方面的要求越來越高，大大地激發了對無線電技術的研究，特別是非線性振動理論的研究得到了迅速的發展。

40年代後數學家們的注意力主要集中在抽象動力系統的拓撲特徵, 如閉軌是否存在、結構是否穩定等, 對於二維繫統已證明可以通過奇點及一些特殊的閉軌和集合來判斷結構穩定性與否;而對於一般系統這個問題尚未解決。在動力系統理論方面, 我國著名數學家廖山濤教授, 用從典範方程組到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主要問題, 特別是c’封閉引理的證明, 對結構穩定性的充要條件等方面都作出了主要貢獻。

在當代由電力網、城市交通網、自動運輸網、數字通訊網、靈活批量生產網、複雜的工業系統、指令控制系統等提出大系統的數學模型是常微分方程組描述的。對這些系統的穩定性研究, 引起了越來越多學者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的目前常微分方程的研究領城比以往任何時候都廣泛，大致有九個分支學科：一般理論;邊值問題;定性理論;穩定性理論;泛函微分方程和差分方程;微分方程的漸近理論;巴拿赫空間及其他抽象空間的微分方程;控制理論問題以及隨機微分方程和方程組。這些領域都有不少數學家在從事工作，每年發表的文獻總數在1000篇以上.例如，一般理論仍然是常微分方程最活躍的領城之一。近二十年來，由於研究繼電控制系統等實際問題提出了一類右端不連續常微分方程系統和廣義常微分方程。由此就要求對解重新定義, 即廣義解的定義問題。與此同時又提出這類解的存在性、唯一性問題。再如，在自動控制、生物學、醫學、經濟學等領城中提出了一類數學模型, 類似一般的常微分方程, 但其解的未來狀態, 不僅依賴於初始狀態, 而且與過去的狀態有關。這些數學模型被概括為所謂泛函微分方程(funstion diff,eqs,簡寫為fde)，成為常微分方程的重要分支學科。這類方程早在1750年歐拉就已經提出，但20世紀前只有個別工作，19XX年—1948年間從各個方面提出的fde逐漸增多，但仍未成為一個獨立分支。1949年後貝爾曼(man，1920,8,20，美國數學家)等建立了普遍存在唯一性、穩定性定理後，才成為一個獨立的數學分支。目前這類方程的穩定性同樣是頭等重要的問題。

(2)發展趨勢

微分方程是表達自然規律的一種自然的數學語言。它從生產實踐與科學技術 中產生，而又成為現代科學技術中分析問題與解決問題的一個強有力的工具。

(3)研究方法及應用領域;

人們在探求物質世界某些規律的過程中，一般很難完全依靠實驗觀測認識到該規律，反而依照某種規律存在的聯繫常常容易被我們捕捉到，而這種規律用數學語言表達出來，其結果往往形成一個微分方程，而一旦求出方程的解，其規律則一目瞭然

三、對本課題將要解決的主要問題及解決問題的思路與方法、擬採用的研究方法(技術路線)或設計(實驗)方案進行説明

(1)將要解決的主要問題及其思路方法;

利用積分因子存在的充要條件定理及某些特殊性質，對幾類特殊的微分方程及一般的微分方程的積分因子法進行討論，這是一種非常有效的方法，能使問題簡單化並易求得一階微分方程的通解。

(2)研究方法;

充分利用網絡資源及校圖書館的資料，並對材料歸納總結，還要結合自己的見解。如果在寫的過程中遇到不懂的問題，將會和指導老師研究，直到問題解決。

四、檢索與本課題有關參考文獻資料的簡要説明

[1]王高雄等編著.常微分方程[m]. 北京:高等教育出版社(第三版)p55-60

[2]西南師範大學數學與財經學院.常微分方程[m].西南師範大學出版社.p74-89

[3]王善維.關於一階微分方程的積分因子問題.河北輕化工學院學報.1997年第18卷第3期

[4]楊宗永.用積分因子法試解一階微分方程.成都紡織高等專科學校學報.1994年10月第11卷第4期

[5]楊淑娥.一階微分方程的積分因子解法.彭城職業大學學報年3月第15卷第1期

[6]華東師範大學數學.數學分析(上、下)[m].北京：高等教育出版社(第三版).

[7]樓紅衞編著. 常微分方程[m].復旦大學出版社.p13-18

[8]丁崇文編著. 常微分方程精品課堂[m].廈門大學出版社.p94-121

[9]温啟軍，張麗靜.關於積分因子的討論. 長春大學學報年10月第十六卷第五期

[10]陳偉.解一階線性常微分方程的積分因子法.高等數學研究年5月第11卷第13期

[11]侯謙民.利用積分因子解微分方程.湖北成人教育學院學報年7月第13卷第4期

五、畢業設計進程安排

進程安排;：

(1-3周) 確定論文題目。查找資料,完成畢業論文開題報告;

(4-6周) 查閲，收集和整理資料，對其進行綜述;

(7-8周) 中期檢查，情況彙報;

(8-12周) 完成總結。整理全文,完成論文初稿的撰寫，交指導老師審閲;

(13周) 按指導老師意見，完成論文的修改;

(14周) 論文答辯準備，並完成論文答辯。