數學教育心得

數學教育概論》這本書是由張奠宙、寧乃慶主編的，是普通高等教育“十五”國家級規劃教材數學系列教材之一，它帶附帶有一個光盤，由高等教育出版社出版。這是一個關於數學教育基本理論與實踐的概述，目的是幫助具有數學專業知識的學生獲得有關數教育的基本知識和技能。它不再只是“教材教法”的説明書式的記敍，而是闡述數學教育的規律，具有自己怕學科體系。全書分為實踐篇和理論篇。首先從觀賞、分析大量的數學教學案例入手，幫助學生編制教案，走上講台。然後概略地介紹當代數學教育的基本理論，探討數學教學的目的、學生應具備的數學能力、數學教學模式、數學教育的德育功能等基本課題，同時研究數學思想方法的價值，以及數學史、數學教育技術、數學教育心理等有關問題。書中設專章介紹和研究《全日制義務教育數學課程標準》和《普通高中數學課程標準》的制定和實驗，並就數解題和數學考試、數學教育研究等問題進行闡述。

數學是人類文明的火車頭。古希臘文明時期的數學著作——歐幾里得的《幾何原本》成為人類理性精神的典範。它在西方國家的印刷數量，僅次於聖經。當歷史經過中世紀的漫漫長夜之後，是笛卡爾、費馬、牛頓、一萊布尼茨創立的微積分，宣告了資本主義文明的科學黃金時代的來臨。19世紀發現的非歐幾何、高斯---黎曼建立的微分幾何進入愛因斯坦的相對論，締造了物理學革命，成為20世紀文明的標誌之一。現在，當人們在普遍享受信息文明的時候，自然會想起為它奠基的數學家的貢獻：馮諾依曼設計的電子計算機，連同維納的控制論、仙農的信息論，人類終於迎來了航天飛行和手機普及的時代。

數學無處不在，數學無往不利。人類的進步一時一刻也不能離開數學。就單個個人而言，由於數的嚴謹與抽象，經過烽學的學習和訓練，人的思維能力就獲得一次昇華。學習數學，不僅為學習其他學科打下了紮實基礎，而且能夠培養人們不迷信權威，不感情用事，不停留於表面現象的思維品質，甚至從數學這無聲的音樂、無色的圖畫中，領略到美的崇高境界。也正因為如此，在世界的所有國家，數學都是主課，學生從一年級入學到中學畢業，一直不有離開數學。重視數學，是一個國家文明的象徵，也是一個國家教育進步的標誌。

中國的古代數學曾經有過輝煌的成就，以劉徵、祖沖之、秦九韶為代表的中國數學學派，建立了與實踐聯繫緊密且以算法見長的數學體系，但是12世紀之後就漸漸地落伍了。20世紀以來，中國數學家急起直追，努力為世界數學文明做貢獻。在當代的數學史上，可以看到陳省身、華羅庚、許寶祿、吳文俊等中華數學家的名字。XX年8月，國際數學家大會在北京舉行，這表明中國數學已經進入世界數學的主流，向着21世紀數學大國的目標挺進。

但是，中國還不是數學強國。中國數學離國際先進水平還有較大的距離。在數學研究一線上中國數學家還要繼續努力，便更重要的是培養數學後備力量，提高我國公民的數學素質，加強科學技術領域的數學支撐。為此，就要從加強數學教育着手，從娃娃抓起，從青少年的數學培養抓起。

我從事數研究和數學教育幾年，對數學教育的重要和艱難，有深切的體會。1993年，西南師大的著名代數學家陳重穆教授親自到中國小第一線進行數學教育改革，使我十分欽佩。他提出“淡化形式、注重實質”的口號，一時成為國內數學界和數學教育界討論以至爭執的熱點。數學的一個特點是形式化，陳重穆教授自然十分清楚。他之所以提出“淡化形式”，並非針對數學本身，乃是對人們認識抽象規律過程，尤其是對兒童青少年學習數學而言，因此我認為他講得有道理。數學和數學教育是彼此聯繫又互相不同的學科，數學界應該更加重視數學教育的研究與實踐。

張奠宙教授和寧乃慶校長主持“十五”國家級規劃教材——《數學教育概論》的編寫，當是21世紀中國數學教育的一項有意義的工作。

第一章 緒論：為什麼要學習數學教育學

數學教師是一種職業，是一種需要特殊培養的專業人士。讓我們來回顧一下歷史。在古代，學教育的主要目的是培養大大小小的官史、僧侶和文職人員。為了將學生培養成統治者，“讀、寫、算”是最基本的。無論在古埃及、巴比倫和中國等文明古國，還是在稍後崛起的古希臘和古羅馬，經世致用其所長數學都是學校啟蒙教育中一個必不可少的內容。進入20世紀，各國培養教師計劃中重視和加強教學法培訓的傾向更加明顯了，數學教育逐漸成長為一個需要具備一定特殊技能的專業。

在這本書中我們看到了幾個數學教育研究的案例。第一個案例中研究者使用的是訪談法，目的是想通過訪談，比較深入地瞭解學生是怎樣思考的，產生錯誤認知和差錯的主要原因是什麼，克服它們的有效措施是什麼，等等。通過研究，希望提煉出可供教材編寫人員和教師參考的建議。訪談法是研究數學教育心理學的學者在瞭解和分析學生思考過程時常用的一種方法。

“讓學生在發現和創造中學數學”這是一個誘人的數學教學境界。布魯納認為“發現法”具有兩個效用：一是給心靈帶來愉快，二是促使能力獲得遷移。為了檢驗布魯納的這些看法，馬鞍山市第十三中學馮建國教師在七年級的兩個平行班級的數學課中進行了兩次實驗。第一次教學實驗，甲班用發現法乙班用一般方法。第二次教學實驗則輪換一下，乙班用發現法，甲班用一般方法。兩次課的內容是連續的，一前一後依次是合併同類項和去括號。根據這兩次實驗得出幾個結論：

(一) 布魯納所説的“愉快”是存在的，這從兩次發現課舉手要求回答的總人次為238，而兩次一般課相應數學據為115，以及從課堂氣氛等教學現現象中可以看出。

(二) 布魯納所説的“遷移”能力提高也是正確的，這從學生在完成b組題目上的表現可以看出，兩次發現課中，學生在b組得到的平均分累計為48。9，而兩次一般課的相應分數僅為33。

(三) 發現法有得於對基礎好、智力好的學生進行教學，但也容易產生全班成績的兩極分化。比如，在a組題目中，兩次發現課得滿分的總人數和30分以下的總人數依次是58人和9人，相應的一般課數據則為53人和3人。

這個研究案例採用的是輪組實驗法，意在控制無關變量帶來的影響，是教學研究中常用的一種實驗方法。

課堂教學中語言是不可或缺的一種人際交流工具。然而，從學校的課堂教學實踐看，教師的課堂教學用語似乎還難盡人意。教師課堂教學用語的現狀究竟如何，學生最喜歡和最厭惡的教師課堂教學用語是什麼，教師課堂教學用語在教師魅力諸方面中的地位如何，浙江方橋國中的張菊飛等老師就此進行了一番調查研究。

對學生來説，教師最大的魅力是什麼？教師課堂用語在其中的地位又如何？查結果表明：學生最搬弄是非重的是教師的“教學水平和教學能力”，其次是優美的語言、淵博的知識、豐富的感情和熱情的態度。所以，提高自己的教學水平和能力是教師的首要任務，但是，優美的語言對於學生的情感、態度等也有很大的作用。

第二章 數學課堂教學觀摩與評析

數學教育學有自己的理論體系，又是一門實踐性很強的學科。有人説，數學教師像一個“傳道者”，孜孜孜不倦地向世人傳播數學真理，歷盡艱苦而無怨無悔；也有人説，數學教師又像一位電視節目主持人，生動活潑地把學生組織起來，進入探索數學知識的海洋；更有人説，數學教師也像一位表演藝術家，把抽象嚴謹的數學體系，用藝術的方式呈現出來，讓學生理解數學的偉大價值，獲得美的享受。由此看來，數學教學既是一門科學，也是一門藝術。觀察優秀教師的課堂教學，是一種美的享受。一堂好的數學課，首先是看數學知識的掌握是否正確與適度，然後才是教學活動的呈現方式。

我國的數學課堂教學已經有比較固定的教學程序，也稱為教學環節。一般的課堂教學都包括：複習思考、創設情境、探究新課、鞏固反思以及小結練習等環節。實踐表明，這種模式反映了傳統的“教師向學生傳授知識和技能”的傾向，在知識傳授上，採用這種模式的教學總的效果是好的，也為廣大數學教師所接受。缺點是容易忽視學生是學習的主人。此外，對教師組組織教學語言、設計提問有較高要求。

第三章 數學教學設計

第二章的案例可以看到，數學教學具有許多類型。它們構思不同，形式各異，可謂色彩斑斕，美不勝收。如果説，把教育學一般理論比喻為建築學理論，那麼數學教學則是一項建築工程。一堂優秀的數學課，正如一座美輪美換的大廈，既要符合科學原理，又能令人賞心悦目。眾所周知，工程需要設計，同樣數學教學也需要設計。作為數學教師，只有掌握了較高的教學水平，才能更有效地組織教學。

教師進行教學設計是為了達到教學活動的預期目的，減少教學中的盲目性和隨意性，其最終目的是為了使學生能更高效地學習，開發學生的學習潛能，塑造學生的健全人格，以促進學生的全面發展。既然是設計，就需要思考、立意和創新。因而，數學教學設計是一個既要滿足常規教學要求，又要進行個人創造的過程。數學教學的真諦是數學思維過程的教學，學生需要掌握數學知識，但更重要的是學習獲得知識的思維活動過程以及所運用的數學思想和方法。

第四章 與時俱進的數學教育

數學教育研究的核心課題之一，是要把人類創立的數文明中的精華部分，以符合時候精神的方式，構建數學課程，通過教師的示範和引導，讓學生理解、吸收和掌握優秀的數學。

數學是為了自身的健康，必須保持邏輯上的嚴密性。因此，從19世紀開始，數學進入了第三個時期：現代公理化時期。羣論的出現，複數以及四元數的運用，非歐幾何的誕生等等，再次證明數學本身內部的問題也在推動數學的進步，而所有這一切，都圍繞着“羣的公理”、“複數和四元數的公理”、“歐氏幾何公理”而展開的。與此同時，分析學的嚴格化進程也在加速，隨着實數系的公理化定義， 語言代替了自然描述的語言，微積分奠定在嚴密的基礎上。 一時期的頂峯是康託提出“集合論”比較無限的“大小”，以及希爾伯特提出的“形式主義”的數學觀，風靡世界。這種數學觀認為數學只是一組相容的、獨立的、完備的公理系，按照一定方式推理出來的一堆“形式”，與它表示的內容無關。20世紀中葉發展起來的布爾巴基學派，將現有數學知識按照最嚴密的方式加以梳理，構成了一個比較嚴密的“結構主義”的數學體系。

這股思潮影響了兩個世紀。但是，數學畢竟不是形式。數學最豐富的源泉在於現實世界的數量關係。20世紀30年代，哥德爾證明了，希爾伯特的公理體系如果包含自然數在內，那麼總存在一個命題，用公理無法判斷其為真，也無法判斷其為假。於是，這個公理系在形式上是不完備的，即不能自圓其説的。於是，形式主義的數學觀得到了致命的批判。

第五章 數學教育的基本理論

數學教育作為一門學科，始自20世紀初，目前還不滿1XX年。19XX年成立國際數學教育委員會，數學教育成為國際性的事務。但是在第二次世界大戰之前，數學教育的研究只限於各國的“數學教學大綱”、“數學教學計劃”等文件的交流，尚無數學教育的理論著作問世。第二次世界大戰結束後，數學教育進入一個迅猛發展的時期，各種數學教育的著作大量出現。但是，真正形成數學教育理論形態的研究並不多，似乎只有弗來登塔爾和波利亞兩位的工作得到比較廣泛的承認。心理學家皮亞傑倡導的建構主義學説，對數學教育有很大影響。中國的“雙基”數學教育，積累了豐富的經驗。

弗賴登塔爾認為，數學來源於現實，存在於現實，並且應用於現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”。數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，並在此基礎上發展他們的數學現實。因此，在教學過程中，教師應該充分利用學生的認知規律，已有的生活經驗和數學的實際，靈活處理教材，根據實際需要對原材料進行優化組合。把例題生活化，讓學生易懂易學。通過設計與生活現實密切相關的問題，幫助學生認識到數學與生活有的密切聯繫，從而體會到學好數學對於我們的生活有很大的幫助，無形當中產生了學習數學的動力。這也就是弗賴登塔爾常常説的數學教育即是現實的數學教育。

波利亞對數學教育的基本看法，波利亞對於數學教育的目的、價值、方法非常關注。他認為，“中國小生到底為什麼要學習數學？要學什麼樣的數學？通過什麼途徑學好數學？”具體一點就是，在中國小階段，是以“學數學”為主呢，還是以學如何“用數學”為主呢？這一點必須弄清楚。在他看來，中學數學教育的根本目的就是“教會年輕人思考。”這種思考既是有目的思考，產生式的思考，也包括形式的和非形式的思維。教師要努力做的就是“教學學生證明問題，甚至也教他們猜想問題”，啟發學生自己發現解法，從而從根本上提高學生的解題能力。當然，他也強調數學教育中培養學生的興趣、好奇心、毅力、意志、情感體驗等非智力品質的重要性。因為，要學會解題，要成為解題能手，是要經過大量的解題實踐，是要付出艱辛的努力，需要有一定的意志品質的，並不是説在玩就能學會解題，要學好數學畢竟不是一件輕輕鬆鬆的事情。

波利亞強調，要成為一個好的解題目者，如果“頭腦不活動起來，是很難學到什麼東西的，也肯定學不到更多的東西”，“學東西的最途徑是親自去發現它”，最富有成效的學習是學生自己去探索、去“發現”。只有學習者自己的思維活動起來了，他在學習中才會尋求到歡樂。有了成功的體驗，他對數學知識本身才可能產生內在的興趣。

另外，波利亞從教師的角度出發，根據自己的實踐經驗，立足於藝術形式對人的影響和作用方面來認識教學，並堅持説“教學是一門藝術”。他把教學比作舞台藝術，以説明教師的教態對學生起着潛移默化的影響和薰陶作用；他把教學與音樂、詩歌、軼事比較，以説明教師的語言和所表達的內容對學生能夠產生圈套的吸引力，能引起學生的興趣和好奇心。當然，關於教學是否是科學這一點，他度沒有正面回答。他更多的是，以一個教育家自身的教學實踐和經驗，以一個數學家“無意識”地遵從、運用科學規律來説明教學過程本身應該遵循一些規律性的東西，並尤其強調興趣對學生學習數學的重要性。

第六章 數學教育的一些基本課題

“為什麼要學習數學”？“為什麼學那麼多的數學”？“為什麼世界各國都把本國語文和數學作為最重要學習科目”？這就要涉及數學教育目標的確定。

數學教學的目的是：“使學生牢固地掌握代數、頰幾何、立體幾何、三角和平面解析幾何的基礎知識，培養學生正確而且迅速的計算能力，邏輯推理能力和窨想像能力，以適應參加生產勞動和進一步學習的需要。