國中數學知識點總結範例

第一章 圖形的變換

考點一、平移 (3~5分)

1、定義

把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

2、性質

(1)平移不改變圖形的大小和形狀，但圖形上的每個點都沿同一方向進行了移動

(2)連接各組對應點的線段平行(或在同一直線上)且相等。

考點二、軸對稱 (3~5分)

1、定義

把一個圖形沿着某條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就説這兩個圖形關於這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。

2、性質

(1)關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

(2)如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線。

(3)兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上。

3、判定

如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。

4、軸對稱圖形

把一個圖形沿着某條直線摺疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

考點三、旋轉 (3~8分)

1、定義

把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2、性質

(1)對應點到旋轉中心的距離相等。

(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。

考點四、中心對稱 (3分)

1、定義

把一個圖形繞着某一個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質

(1)關於中心對稱的兩個圖形是全等形。

(2)關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分。

(3)關於中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或在同一直線上)且相等。

3、判定

如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱。

4、中心對稱圖形

把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。

考點五、座標系中對稱點的特徵 (3分)

1、關於原點對稱的點的特徵

兩個點關於原點對稱時，它們的座標的符號相反，即點P(x，y)關於原點的對稱點為P’(-x，-y)

2、關於x軸對稱的點的特徵

兩個點關於x軸對稱時，它們的座標中，x相等，y的符號相反，即點P(x，y)關於x軸的對稱點為P’(x，-y)

3、關於y軸對稱的點的特徵

兩個點關於y軸對稱時，它們的座標中，y相等，x的符號相反，即點P(x，y)關於y軸的對稱點為P’(-x，y)

第二章 圖形的相似

考點一、比例線段 (3分)

1、比例線段的相關概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那麼就説這兩條線段的比是，或寫成a：b=m：n

在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的後項。

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等於另外兩條線段的比，那麼這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段

若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那麼a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項，線段的d叫做a，b，c的第四比例項。

如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那麼線段b叫做線段a，c的比例中項。

2、比例的性質

(1)基本性質

①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：c

(2)更比性質(交換比例的內項或外項)

(交換內項)

(交換外項)

(同時交換內項和外項)

(3)反比性質(交換比的前項、後項)：

(4)合比性質：

(5)等比性質：

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC，BC(AC>BC)，並且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB0.618AB

考點二、平行線分線段成比例定理 (3~5分)

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：

(1)平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊。

(2)平行於三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

考點三、相似三角形 (3~8分)

1、相似三角形的概念

對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”來表示，讀作“相似於”。相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似係數)。

2、相似三角形的基本定理

平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似。

用數學語言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等價關係：

(1)反身性：對於任一△ABC，都有△ABC∽△ABC;

(2)對稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC

(3)傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，並且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

(1)三角形相似的判定方法

①定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似

②平行法：平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似

③判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應相等，兩三角形相似。

④判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應相等，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

⑤判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應成比例，兩三角形相似

(2)直角三角形相似的判定方法

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。

4、相似三角形的性質

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

(2)相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比

(3)相似三角形周長的比等於相似比

(4)相似三角形面積的比等於相似比的平方。

5、相似多邊形

(1)如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那麼這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比(或相似係數)

(2)相似多邊形的性質

①相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例

②相似多邊形周長的比、對應對角線的比都等於相似比

③相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等於相似多邊形的相似比

④相似多邊形面積的比等於相似比的平方

6、位似圖形

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在直線都經過同一個點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。

性質：每一組對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等於位似比。

由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小。