數學教學階段性小結

近幾年來，經過許多教育工作工作者的研究和探討，對此問題已基本形成共識，並在教學過程中付諸行動。我們把在這種認識指導下進行的教學模式稱之為“探索式教學”。

探索式教學是指在教師引導下，師生共同參與，全方位展示數學思維過程的一種教學模式，主要包括揭示概念及思想方法的概括形成過程，暴露數學問題的提出過程，解決方案的制定選擇過程以及探索數學結論的發現、論證過程。探索式教學是現代教學理論指導下的一種教學模式，本文擬在探索式教學課題組已有的成果基礎上就探索式教學作一個階段性總結。

一、重視背景介紹，通過概括形成概念、法則

教學中每一個概念的產生，每一個法則的規定都有豐富的知識背景，捨棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念和法則是傳統教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養學生概括能力的極好機會。探索式教學就是要克服這種弊端，還概念和法則形成過程與學生。如方程的概念教學，傳統的方法是給出方程的定義，然後給出若干式子讓學生判別哪些是方程。探索式教學的做法是，先給出若干式子，然後讓學生觀察，找出其中的一些共同特點，如一部分式子是等式，一部分式子是代數式，在等式中又有一部分是含有未知數的，這樣我們就把這一種含有未知數的等式叫做方程。

再如，在立體幾何中異面直線距離的概念，傳統的方法是給出異面直線公垂線的概念，然後指出兩垂足間的線段長就叫做兩條異面直線的距離。探索式教學的做法應為，先讓學生回顧一下過去學過的有關距離的概念，如兩點之間的距離，點到直線的距離，兩平行線之間的距離，引導學生思考這些距離有什麼特點，發現共同的特點是最短與垂直。然後，啟發學生思索在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離是最短的？如果存在，應當有什麼特徵？於是經過共同探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，並通過實物模型演示確認這樣的線段存在，在此基礎上，自然地給出異面直線距離的概念。這樣做，不僅使學生得到了概括能力的訓練，還嚐到了數學發現的滋味，認識到距離這個概念的本質屬性。類似的例子可以舉出許多，這裏不再多説。

二、提供開放問題，通過探索發現定理、結論

數學中的每一個定理結論都是前人經過艱苦的探索發現的。即使是一個一般的命題，一個猜想，其提出的過程也凝聚了數學家的智慧。傳統的做法往往是給出現成的結論，然後照搬現成的證明。這樣做使學生始終處於一種被動接受的地位，學生總是心存疑慮：這個定理是怎麼來的？這個證法是如何想到的？探索式教學就是要改變這種學習的被動局面，消除學生心理上的疑慮，讓學生主動積極地去參與探索，嘗試發現，成為學習的主人。

如立體幾何中異面直線上兩點間的距離公式教學，傳統的做法一般是給出已知條件，即a、b是兩異面直線，ab是它們的公垂線段，ab=d，a、b所成的角為q，m、n分別是a、b上的點，且am=m，bn=n，求mn的長。探索式教學應作如下處理，先提供一個開放問題，已知a、b是兩條異面直線，m、n分別是a、b上的點，問如何確定mn的長？接下來是師生共同探討的過程：

師：同學們想一想，要確定mn的長，首先要讓兩異面直線的位置確定下來，異面直線的位置如何確定？

生：一是異面直線所成的角，二是異面直線的距離。

師：因此，我們添加則兩個條件上去，即兩條異面直線a、b所成的較為q，公垂線段長ab長為d，現在看一看，mn的長是否可以確定下來了？

生：還不能確定下來。

師：那麼mn的長還與什麼有關？

生：與m、n在a、b上的位置有關。

師：能否把這句話説的更精確一點，或者説用數學符號語言描述它？

生：與m、n分別到垂足a、b的距離有關。

師：很好。現在，我們將這個條件也添加上去，即設am=m，bn=n，現在mn的長可以定下來了吧？

生：沒有，應當還有兩種情況。

師：好，那麼大家在討論一下，是那兩種情況，並就這兩種情況來探索mn的計算方法。

經過師生的共同參與，公式終於獲得了。

三、創設問題情景，通過研究制定解決方案

“問題”是數學的心臟，“問題解決”的能力是數學能力的集中體現。傳統做法往往是淡化“問題意識”，教者奉獻該學生的是一些經過處理的規律問題和現成的漂亮解法，捨去了對問題的加工處理過程，也捨去了制定解決方案的艱辛歷程，學生聽起來似乎顯得輕鬆，但數學的能力卻未能得到應有的提高。探索式教學則是要強化“問題意識”，充分展現對問題加工處理過程和解決方案的制定過程，既磨練了學生的意志品質，又培養了學生解決問題的能力。

如在進行“直線和平面垂直的判定定理”教學時，傳統的方法是給出定理，畫好圖形，把課本上的證明講解一遍。探索式教學則可以作如下設計：

第一步，提供問題：在水平的地面上豎起一根電線杆，現在請大家想一個辦法，檢查一下電線杆與底面面是否垂直？

第二步，設計解決方案：學生將電線杆抽象為一條直線，地面抽象為一平面，根據直線與平面垂直的定義設計方案如下：用一塊三角板，讓一條直角邊緊貼電線杆，直角頂點靠地面，旋轉一週，如果靠地面的一邊始終在地面上，則可以斷定電線杆和地面垂直，否則電線杆與地面不垂直。

第三步，問題的發展：教師在肯定方案的正確性和可行性的基礎上，向學生提出新問題：是否有比這個方案更簡便易行的方案呢？如果有一個人沒有讓三角板旋轉一週，而只是檢查了兩個位置且都和地面貼得很好，他就斷定電線杆和地面垂直，你們認為正確嗎？

第四步，問題的深化：教師要求揭示此問題的實質，並用數學語言加以表述：如果一條直線與一個平面相交，且和平面內過交點的兩直線都垂直，它是否和這個地面垂直？

第五步，設計新問題的解決方案：教師首先讓學生利用身邊的三角板和鉛筆做模型作驗證，發現確是垂直的，然後師生共同研究制定理論上的證明方案。

第六步，回到最初問題，給出合理的解答。

四、造就民主氣氛，通過比較優化解題方法

在數學中，一個問題有多種解法是十分普遍的，傳統的做法通常是將那些教者認為最佳的方法介紹給學生，害怕學生走彎路浪費時間。然而這些最佳的方法往往不是垂手可得的，學生有時很難想到，甚至無法想到。學生在讚歎教師“妙筆生輝”的同時又感到一絲無奈。

探索式教學則要求儘量改變這種狀況，一方面要打破權威，造就民主的課堂氣氛，充分傾聽學生的意見，哪怕走點“彎路”，吃點“苦頭”；另一方面，則引導學生各抒己見，評判各方面之優劣，最後選出大家公認的最佳解決問題的方法。

如在證明定理“垂直於同一條直線的兩個平面平行”時，教材是利用兩個平面平行的判定定理證明的。我們進一步引導學生尋找其它證法。有的學生提出用反證法證明，有的同學認為直接用定義證明，然後進行比較，發現教材中的方法並非最佳方法，這樣增強了學生的自信心，提高了學生的鑑別比較能力。

五、增加發散機會，通過交流，實行羣體效應

數學中除了“一題多解”以外，還有“一題多變”、“一法多用”、“一圖多畫”等多種發散機會。探索式教學十分重視為學生增加發散機會，提供廣闊的思考空間和參與場所，調動全體學生的積極因素，展示他們的思維過程，並通過交流，集中羣體的智慧，實現課堂教學的“羣英會”、“大合唱”。

六、注意回顧反思，通過總結提煉數學思想

探索式教學要求充分暴露知識的發生過程，其中包括數學思想的提煉概括過程。數學思想總是藴藏在各種具體的數學知識、數學方法之中，它是知識的結晶，是高度概括的數學理論。數學思想不僅對學生系統地掌握和運用數學知識和方法解決問題具有指導意義，也對學生形成正確的數學觀念大有好處。探索式教學通過對學生知識的回顧、反思，對所有方法的概括、提煉，挖掘出其中的數學思想，並用數學思想指導數學教學實踐。

如通過對解方程、方程組的回顧、反思，提煉出“降次降維”的思想、“換元”的思想、“轉化”的思想，而這些思想又都屬於“化歸”思想。

再如通過對立體幾何中論證方法的回顧、反思，提煉出線線、線面、面面之間的互相轉化的思想，以及將空間問題化為平面問題的“化歸”思想等等。

探索式教學體現了數學教學的本質，為培養學生的數學觀念、發展學生的數學能力、形成良好的思維品德，創造了良好的外部環境。