材料力學與彈性力學的研究差異論文

材料力學(mechanics of materials)和彈性力學(theory of elasticity)都是力學的重要分支學科，儘管他們都是研究和分析各種結構物在彈性階段的應力和位移，但在研究對象和方法上仍然具有很大的差異。材料力學主要研究物體受理後發生的變形、由於變形而產生的內力以及物體由此而產生的失效和控制失效準則[1]。其主要的研究對象是桿狀構件，即長度遠大於高度和寬度的構件及其在拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下的應力和位移。材料力學除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析之外，通過試驗現象的觀察和分析，忽略次要因素，保留主要因素，引用一些關於構件的形變狀態或應力分佈的假定，大大簡化了數學推演。雖然解答只是近似的，但是可以滿足工程上的精度要求。彈性力學作為固體力學的一個分支，研究可變性固體在外部因素如力、温度變化、約束變動等作用下產生的應力、應變和位移[2]。其研究對象既可是非桿狀結構，如板和殼以及擋土牆、堤壩、地基等實體結構，亦可是桿狀構件，並且其不引用任何假定，解答較材料力學更為精確，常常用來校核材料力學裏得出的近似解答。

材料力學與彈性力學同樣作為變形體力學的分支，在解決具體問題使，需要將實際工程構件的研究對象抽象為理想模型。作為理想模型，在建立其已知量和未知量的推導關係時，要滿足如下基本假設：連續性假設、均勻性假設、各向同性假設、小變形假設、完全彈性假設。下面本文將就在一下具體問題的解決中，探討材料力學和彈性力學在研究方法上的差異。

1.直樑在橫向荷載作用下的彎曲研究

1)在純彎曲樑中，對於平截面假定的驗證

材料力學在研究樑的彎曲應力時，採用純彎曲段分析。通過觀察對比樑變形前後表面橫向線和縱向線的幾何變形，推測樑內部橫截面在變形後仍為平面。在彈性力學中，證明了其橫截面是否為平面的過程如下：

假定平面應力情況，已通過多項式解答取φ=ay3，求得純彎曲矩形樑的應力分量，將應力分量代入物理方程、幾何方程，並積分變換得位移分量的表達式：u=meixy+f1(y)ν=-μm2eiy2+f2(x)

通過數學變換求得位移分量為：

u=meixy-ωy+u0

ν=-μm2eiy2-m2eix2+ωy+ν0

其中ω、u0、ν0為剛體位移

由上式可得，鉛直線段的轉角為：

β=uy=meix-ω

在同一個截面上，x是常量，因而β也是常量。可見，同一橫截面上的各鉛直線段轉角相等，即橫截面保持平面。

2)對於截面彎曲應力的修正與分析

在材料力學中，根據平面假設和單向受力狀態導出了應力公式。但此公式僅限於純彎曲樑，當樑受橫向外力作用時，樑發生橫力彎曲，此時變形後已不再是平面，單向受力狀態也不成立。針對此問題，材料力學一般做簡化處理。對於跨長與橫截面高度之比大於5的樑，用純彎曲正應力公式σ=miy進行計算，結果雖然有誤差，但足以滿足工程上的精度要求，近似用該公式得到的結果作為橫力彎曲的正應力計算公式。

而在彈性力學中，採用半逆解法嚴密的推導了各應力分量。以均布荷載下的簡支樑為例，假設應力分量形式σy=f(y)，由應力函數與應力分量的關係導出應力函數，並代入相容方程得到各應力分量的表達式。考慮主要邊界與小邊界後，得截面上的應力分量為：

σx=miy+qyh(4y2h2-35)

σy=-q2(1+yh)(1-2yh)2

τxy=fsbi

由上式可見，在彎應力σx的表達式中，第一項是主要項，和材料力學中的解答相同，第二項是彈性力學提出的修正項。對於通常的淺樑(跨高比大於5)，修正項很小，可以忽略不計，對於較深的樑，則必須考慮修正項。

應力分量σy是樑各層纖維之間的擠壓應力，它的最大絕對值是q，發生在樑頂。在材料力學中，由於單向應力假設，認為縱向線之間互不擠壓，一般不考慮該應力分量。

切應力τxy的表達式和材料力學完全一樣。

從表達式中可以看到，當l>>h時，σx最大，τxy次之，σy最小，且σx中的qyh(4y2h2-35)是高階小量。因此進一步説明了，材料力學的公式可以近似滿足工程樑的計算精度，而彈性力學推導相對複雜因此材料力學具有較強的實用性。

2.切應力互等定理

在材料力學中，以圓杆的扭轉為背景，考慮了一個特殊的簡單應力狀態，並加以推理得到了切應力互等定理。在沿杆軸線方向取微段dx，垂直於徑向的平面截出一無限小的單元體，則很容易得出內外表面無應力，只在左右兩個面上有切應力τ。則該單元體將會轉動不能平衡，所以推定在上下兩個縱截面上必定存在着τ'。由於面積很小，近似認為切應力在各面上均勻分佈。

由平衡方程σm=0得到

(τdydz)dx=(τ'dxdz)dy

從而得到：τ=τ'

而在彈性力學中，則從最普遍的情況出發，不作任何假設。取微小的平行六面體，根據平衡條件導出應力分量之間的關係。由對中心點的力矩平衡方程，得到：

(τxy+τxyxdx)dy×1×dx2+τyxdy×1×dx2-(τxy+τxyydy)dx×1×dy2+τyxdx×1×dy2=0

將上式兩邊同除dxdy，合併同類項，並命dx dy趨於零，得到τxy=τyx

從而驗證了切應力互等定理。

從切應力互等定理的導出我們可以發現，材料力學在推導過程中運用了一些推理和假設，而彈性力學的推導過程是比較嚴密和精確的。